大阪市阿倍野区阪南町生まれ。父親は広島県尾道市の出身で旧姓は毛利、逸見家に養子入り。父親は長く福徳相互銀行に勤務した。母親は大阪の出身。子供の頃から映画鑑賞が趣味で、特にチャップリンと黒澤明の作品は全て観たという。「この2人に関しては映画評論家の方たちと話してもなんとかなる」と自信を持っていた。逸見が挙げた日本映画の最高傑作も黒澤の『生きる』だった。フジテレビに入社して間もない頃は、映画番組を担当している先輩アナウンサーのところに映画の試写会の案内が多く届くのを見て「自分もああなりたい」と思っていたという。後年、映画賞の審査員にも起用され、それがきっかけで逸見にも映画試写会の招待状が届くようになって希望は果たされた。
大阪市立阪南小学校、大阪市立阪南中学校を経て、大阪府立阿倍野高等学校を卒業（同校の先輩に乾浩明がいる）後、一浪して、早稲田大学第一文学部演劇学科に入学。これを機に出身地の大阪を離れ、以後は帰省時を除き東京で過ごすことになる。大学ではアナウンス研究会に所属。大阪出身であったため大阪方言を話していたが、標準語のアクセントを徹底的に覚えた。ラジオとテープレコーダーを購入し、ラジオでアナウンサーの声を聞き、テープレコーダーで新聞記事を読む自分の声を録音。アクセント辞典を見ながら、録音した自分の声を聞き、間違ったアクセントで発音した語句は、ペンでマーク。また、その語句を黒板に書き、覚えるまで消さないようにした。さらに、日常でも標準語で話すようにした。高校卒業直後に関西学院大学の受験に失敗した際、当時付き合っていた女性にふられてしまい、「見返してやりたい」という気持ちと高校時代に放送部に在籍し、「自分にもできそうで高収入の仕事」という理由から、在京テレビ局のアナウンサーを志したという。早稲田大学に進んだのも、アナウンサーになるのに最も有利な大学という判断からだった。逸見の大学時代は学生運動の盛んな時期だったが、就職に向けた準備に追われて目もくれなかったという。大阪弁を完全に矯正して専ら標準語で話していたが、一方で、言葉以外では関西出身者としての誇りを持ち続けた。当時大阪から東京に進出したばかりで全国的には無名だったお笑いコンビのダウンタウンなどの若手タレントを可愛がり、プロ野球は当時低迷が続いていた阪神タイガースを生涯変わらず愛し続けた（関東での阪神の試合に家族で頻繁に応援に訪れていた。父親、逸見、そして息子の太郎と親子3代続く阪神ファンだと著書で公言している）。
フジテレビのアナウンサー試験では試験官から出身地を確かめられたという程の実力で、フジテレビ入社後には毎年の新社員研修にて「当社にはアクセント辞典を食べた特異体質の男がいる」と語られるようになる。逸見は自著で「大学時代、フランス語辞典は真っ白だったが、アクセント辞典は真っ黒だった」と語っている。父親に「アナウンサーになりたい」と告げると「お前のやりたいようにやれ」と認められた。
早稲田大学の同期で友人でもあった松倉悦郎とともに、フジテレビのアナウンサー試験を突破する（早稲田大学の同級生でアナウンサーとなったのはこの他にも板倉俊彦と原國雄がいたが、板倉は毎日放送に、原は福島テレビにそれぞれ入社した）。大学卒業後の1968年、フジテレビに入社（他の同期入社にはアナウンサーでは山川建夫、小林節子、竹下典子、山根佳代子、他職では坂井義則がいる）。岩佐徹、露木茂、能村庸一、永島信道、浪久圭司、盛山毅、大林宏、野間脩平は先輩にあたる。
最終面接の際、当時の鹿内信隆社長が「早稲田の文学部から2人受けているか。君、どちらか1人しか受からないとなったらどうするかね?」という質問をした。質問に困り果てた逸見はとっさに「そ、それは困ります」と答え、その場にいた重役たちは笑みを浮かべた。逸見は、「松倉にも同じ質問をして松倉も同じように答えたのだな」と思ったという。この言葉が最終的に2人そろっての採用の決め手になったと言われる。なお、1967年7月3日午後5時というフジテレビの入社試験の合格発表の日時を逸見は終生覚えていたという。また、並行して高校の先輩の乾のいた地元・大阪のABCの入社試験も受けてカメラテストまで通過していたが、フジテレビの内定を得たため辞退した。
後年の活躍で大きく化けることとなったが、若手時代の逸見は「暗い」、「つまらない」、「売れないだろう」という否定的な見方が大勢であったが、大橋巨泉は「わかんないぞ。逸見が突然、人気アナウンサーになるかもしれない」と後年の活躍を予期していたという。
当初はスポーツアナウンサーとして活躍し、輪島功一の世界タイトルマッチの実況を中心にプロボクシング中継を担当。ボクサーより先に倒れるのではないかと思われる程の絶叫調の実況で頭角を現した。ボクシング以外にもバレーボールの実況中継も担当しており、全国高等学校バレーボール選抜優勝大会や日本バレーボールリーグの中継でもマイクロフォンサイドに立っている。
スポーツ中継と並行してワイドショー『3時のあなた』のサブ司会者としても活躍した。また、フジテレビが制作に関わっていたテレビドラマ『金メダルへのターン!』や特撮テレビ映画『ミラーマン』にもアナウンサー役で出演している。
その後、報道へ転出。1976年、『FNNテレビ土曜・日曜夕刊』で週末のニュースを担当したことを皮切りに、1978年平日放送の『FNNニュースレポート6:30』（関東ローカル番組）のキャスターとなった。当時のニュース番組のキャスターに逸見の年代（1978年当時33歳。当時の報道キャスターは、40代後半の男性アナが多かった）で起用されるのは珍しかった。それから2年余りが経過した頃、『テレポート6』を見て感銘を受けたので、アナウンス研究会の先輩でもあり、当時同番組のキャスターであった山本文郎に直接電話をかけ、どのようにすれば質の高いニュース番組になるのかを尋ねた。山本からは「できるだけ現場へ行くように」と指導を受けた。その後、逸見は共演の田丸美寿々とともに様々な現場へ取材に出向く。取材範囲は原則的に関東地方に限られたが、それ以外の地域へ赴いたこともあり、山口組三代目田岡一雄組長狙撃犯の死体発見のニュースの際には、神戸の山口組本部に突撃取材を行ったこともある。
1980年頃から、自宅新築のために結婚式の司会などのアルバイトを始めた。有名になるに連れてだんだんとアルバイトでの収入も増え、フジテレビを退社する頃には会社から貰う給料の倍以上の額を稼ぐ程になっていた。このため、20年返済で組んだ住宅ローンもわずか6年で完済。さらに、自らの小遣いもアルバイトで稼いでいたという。その一方、副収入が増えたことで追徴課税がなされるようになっていた。逸見がこのことを知人に相談したところ「必要経費が認められるから独立するのが一番良い」と返答された。それまで「フリーには絶対ならない」と公言していた逸見は、前述の「管理職昇進でアナウンスの現場から離れたくない」という気持ちもあったことで方針を転換し、フリーになることを考え始めるきっかけになったという。
1984年4月、『FNNニュースレポート6:00』のキャスターに抜擢される。そして同年10月に後番組としてスタートした『FNNスーパータイム』の初代メインキャスターも引き続き担当し、幸田シャーミンとのコンビで人気を博す。また、1985年4月から開始した、『FNNスーパータイム』の前時間帯夕方5時から生放送の『夕やけニャンニャン』に設けられていた同番組の予告コーナーも担当し、放送曜日である月曜から金曜まで毎日に渡って出演。そのコーナーにおいて、片岡鶴太郎やとんねるずとの当意即妙なやりとりが視聴者の注目を集めるようになり、これが逸見の転機となった。当時までのニュースキャスターといえば堅物で真面目一直線といった人間が就く職業というイメージしかなく、当時の逸見の外見も「七三分け」に「黒縁メガネ」と、その例に漏れなかったが、大阪市出身ゆえのひょうきんなキャラクター、そのギャグセンスの高さとのギャップが若年層の視聴者に意外性をもって受け入れられた。そして、番組開始からおよそ一ヶ月後、逸見のことを知りたいという十代の視聴者からの投書が番組に舞い込むようになり、それに応えるかたちで別コーナーにもゲスト出演する。逸見の番組内人気は過熱の様相を呈していて、片岡鶴太郎から「プロマイドは出さないんですか?」とアイドル的人気にひっかけたギャグを振られるなどして大いに盛り上がる。しかし、これがギャグで終わらず、早速翌日には発行元のマルベル堂から本当のオファーが来ることになり、フジテレビと逸見は驚きながらも受諾。テレビアナウンサーのプロマイド製作は史上初の出来事であったが、何の変哲もない中年男性の外見であった逸見の心配をよそにプロマイドは売れ筋商品となった。その後も『夕やけニャンニャン』と『FNNスーパータイム』の人気がうなぎのぼりになっていくに連れ、双方に出演していた逸見の人気もうなぎのぼりとなっていき、一年間で170社もの取材を受け、著書やレコードも立て続けに出していくようになる。
逸見の人気が沸騰した矢先の1985年8月12日、夏休みを取って家族4人で大阪への帰省のため、当初は日本航空の123便に搭乗する予定だった。しかし太郎が「4人なら新幹線の方が安い」と提案、妻が飛行機嫌いであったこともあり、直前に東海道新幹線に変更したため、日本航空123便墜落事故の難を逃れた。日航ジャンボ機墜落事故のニュースを大阪の実家で知った逸見は「東京に戻るべきか」と思ったが「今から戻ってもニュースの一番おいしい所を良いとこ取りするだけだ」と思い直し、実家で先輩の露木アナがキャスターを務める『FNN報道特別番組』を見守った。この時、10時間に亘って原稿なしでコメントを続けた露木アナのキャスターぶりを、後に著書で絶賛した。
人気の高まりを受け、1986年には映画『コミック雑誌なんかいらない!』にも出演。また、バラエティ番組への出演が増え、同年からそれまで21年連続で司会を務めてきた高橋圭三の勇退を受けて、『新春かくし芸大会』の司会を芳村真理とのコンビで担当、名実共にフジテレビを代表する看板アナウンサーとしての地位を確立する。また、この年にはベスト・ファーザー イエローリボン賞にも選出された。
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